Krzywe stożkowe /Bronisław Pabich/

Uczeń kończący szkołę średnią nie miał okazji spotkać się z krzywymi stożkowymi poza parabolą, którą poznał jako obiekt algebraiczny. Na studiach matematycznych i technicznych krzywe te są podstawowymi obiektami w poznawaniu makro i mikroświata (mechanika nieba, optyka, dynamika cząstek elementarnych itp.).
Program Cabri pozwala poznać je w sposób odkrywczy, co oznacza, że umożliwia ich skonstruowanie (czasem nawet w sposób przypadkowy) potem odkrycie ich własności i dopiero na tej podstawie jej zdefiniowanie. Stożkowe można konstruować na wiele sposobów. Kreślenie ich w programie Cabri jako ślad lub miejsce geometryczne punktów to już niemal 25 letnia historia. Warto ją jednak przypomnieć, gdyż niewątpliwie wielu młodych ludzi pragnie poznać tajniki, które tkwią w geometrii.

ELIPSA
KONSTRUKCJA 1 (BP)
Czasami można usłyszeć określenie elipsy jako miejsce geometryczne punktów, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów F1 i F2 jest stała. Spróbujmy ją więc skonstruować na podstawie tej definicji w programie Cabri II Plus. Wykonajmy więc konstrukcję:
Dane są punkty F1 i F2 oraz odcinek AB. Skonstruuj co najmniej jeden punkt , którego suma odległości od F1 i F2 jest równa długości odcinka AB.
Obierz na odcinku AB punkt Q. Zauważ, że AQ+QB=AB. Teraz wykreśl dwa okręgi: pierwszy o środku F1 i promieniu AQ a drugi o środku F2 i promieniu QB. Czy okręgi te przecinają się. Co musisz zrobić by się przecinały? Niech P1 i P2 będą punktami przecięcia tych okręgów. Włącz ślad tych punktów i obserwuj, co wykreślą one w trakcie poruszania punktem Q po odcinku AB? Poniższy gif animowany ilustruje tę konstrukcję. Kliknij w niego by obejrzeć go na całym ekranie.

ELIPSA

Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami elipsy. Można zauważyć że suma odległości punktu P1 od nich jest równa długości odcinka AB (rysunek poniżej). Podobnie jest dla punktu P2. Faktycznie, gdy punkt P1 zajmie położenie punktu A, wówczas z uwagi na symetrię mamy |A,(F1)|=|B,(F2)|, zatem:
|(P1),(F1)|+|(P1),(F2)|=|A,(F1)|+|A,(F2)|=|A,(F1)|+|A,(F1)|+|(F1),(F2)|=|A,(F1)|+|B,(F2)|+|(F1),(F2)|= AB

KONSTRUKCJA 2 (BP)
Utwórz okrąg o środku O i promieniu r, obierz na nim punkt M a wewnątrz koła tego okręgu punkt A.
Skonstruuj okrąg styczny wewnętrznie do okręgu o(O,r) w punkcie M przechodzący przez punkt A.
Co wykreśli środek S tego okręgu gdy punkt M będziesz poruszać po okręgu o(O,r).
Uzasadnij swoje spostrzeżenie.
Konstrukcja ta nie jest trudna – wystarczy znaleźć środek poszukiwanego okręgu. Skoro poszukiwany okrąg ma być styczny do bazowego w punkcie M, więc jego środek leży na prostej OM, a skoro ma przechodzić dodatkowo przez punkt A, więc AS=MS, co oznacza, że S leży na symetralnej punktów A i M. Poniższy gif animowany ilustruje tę konstrukcję. Kliknij w niego by obejrzeć go na całym ekranie.

ELIPSA02A

Jak zapewne zauważyłeś, krzywa, jaką zakreślają środki okręgów powstałych po uruchomieniu punktu M to elipsa.
Spróbujmy uzasadnić, czy faktycznie punkty S spełniają jej definicję. Trzeba wykazać, że istnieją takie dwa punkty, dla których suma odległości punktu S jest stała. Widać, ze te punkty (ogniska) to punkty A i O.
Faktycznie SA + SO = SM +(OM – MS) = MO = r (bo SA=SM).

KONSTRUKCJA 3 (BP)
Ostatnia konstrukcja sugeruje i uzasadnia fakt, że kształt elipsy można uzyskać przez zawijanie kartki papieru. Wyobraź sobie wycięte z papieru koło o środku S. Zaznaczasz na nim punkt A różny od środka S i zawijaj brzeg kartki, łamiąc koło wzdłuż jednej z jego cięciw tak, by ten brzeg pokrył się w jednym punkcie z punktem A. Powtarzaj tę czynność wiele razy. Zbiór zagiętych cięciw koła z papieru utworzy kształt elipsy. Matematyk powiedziałby, że rodzina tych cięciw wykreśliła obwiednię którą jest elipsa. Poniżej widoczny jest gif animowany wykonany na bazie konstrukcji opracowanej w programie Cabri 3D.

ELIPSA_KARTKA

HIPERBOLA
KONSTRUKCJA 1 (BP)
Jeśli w ostatniej konstrukcji elipsy wyprowadzimy punkt A poza koło, wówczas sytuacja diametralnie zmieni się. Przede wszystkim okręgi nie będą teraz styczne wewnętrznie, lecz zewnętrznie do okręgu bazowego. Krzywa też nie pozostanie już elipsą. Poniższy gif animowany ilustruje powstawanie tej krzywej. Kliknij w niego by obejrzeć ją na całym ekranie.

HIPERBOLA01

Krzywa uzyskana w ten sposób to hiperbola. Jak ją zdefiniować? W tym celu oblicz wartość bezwzględną różnicy długości odcinków SO i SA. Zrób to podobnie jak w poprzednim przykładzie dla elipsy.Teraz możesz samodzielnie
określić hiperbolę jako zbiór punktów, których …….. no właśnie, uzupełnij sobie tę definicję.
Jest jeszcze wiele innych sposobów uzyskania hiperboli. W tym artykule poniżej znajdziesz mało znaną konstrukcje hiperboli przedstawioną przez Tadeusza Dorozińskiego.

PARABOLA
KONSTRUKCJA 1
Tym razem rozpoczniemy od zadania konstrukcyjnego:
Dany jest punkt F i prosta k. Skonstruuj co najmniej cztery punkty, których odległości od punktu F i prostej k są takie same.
To na pozór łatwe zadanie nie jest takie proste. Trzy takie punkty każdy od razu widzi. Są to: środek pomiędzy punktem P i jego rzutem prostokątnym P’ na prostą k, a dwa pozostałe, to wierzchołki odpowiednich kwadratów – patrz rysunek poniżej. Ale co z czwartym?

KONSTR_PARABOLI

Aby skonstruować czwarty punkt P, zauważmy, że jego odległość od prostej to odległość od jego rzutu na tę prostą. Wystarczy więc wybrać dowolny punkt P’ na prostej k i wystawić w nim prostopadłą do prostej k. Na niej musi leżeć poszukiwany punkt P. Ponieważ jego odległość od P’ jest równa odległości PF, więc P musi leżeć na symetralnej punktów P’ i F. Poniżej widać kolejne kroki tej konstrukcji:

KONSTR_PARAB

A jaka krzywą wykreśli punkt P, gdy P’ będziemy poruszać po prostej k? Popatrzmy:

PARABOLA01

Uzyskana krzywa to nasza dobra znajoma z tematu „funkcja kwadratowa” – to po prostu jej wykres. Prostą k matematycy nazwali kierownicą, zaś punkt F ogniskiem paraboli. Tak więc parabola to zbiór punktów, których odległości od ………są równe (dokończ samodzielnie tę definicję).Czy zauwazyłeś, że parabola przechodzi przez środek odcinka łaczącego ognisko paraboli z jej rzutem prostokątnym na kierownicę? Chyba nie dziwi Cię ten fakt.

KONSTRUKCJA 2
Teraz dowiesz się, w jaki sposób można wykreślić parabolę przy pomocy sznurka i ekierki. Przygotuj na stole długą linijkę, ekierkę i kawałek nierozciągliwego sznurka. Do linijki przyłóż ekierkę krótszym jej bokiem tak, byś mógł ją przesuwać wzdłuż tej liniki. Na końcu drugiego boku ekierki zaczep na stałe jeden koniec sznurka. Drugi koniec tego sznurka zaczep równie na stale w punkcie P. Weź do ręki ołówek i naciągając nim sznurek tak, by przylegał do ekierki, przesuwaj ekierkę wzdłuż linijki. Gif animowany poniżej ilustruje to doświaczenie w prograie Cabri II Plus.

PARABOLA_EKIERKA

Jeśli udało Ci się to doświadczenie, to zauważyłeś, że krzywa jaką wykreśliłeś w ten sposób ołówkiem, przypomina parabolę. Czy potrafisz uzasadnić, dlaczego jest to właśnie parabola. Oczywiście wygląda na to, że jej ogniskiem jest punkt F. A gdzie jest kierownica? To chyba już wiesz z poprzedniej konstrukcji.

Konstrukcja hiperboli /Tadeusz Doroziński/

KONSTRUKCJA 2 (TD)
Dane są dwie proste a i b, które przecinają się w punkcie P. Wybieramy dowolny punkt Q leżący poza tymi prostymi. Narysujmy dowolną prostą q przechodzącą przez ten punkt – patrz rysunek poniżej.

hip-dane

Oznaczmy przez A i B punkty przecięcia prostej q z prostymi a i b. Niech H będzie środkiem odcinka AB.
Znany, choć mało, jest fakt, że gdy zmieniamy położenie prostej q, to punkt H porusza się po hiperboli (kliknij w poniższy gif animowany).

HIPERBOLA02

Ten przypadek prowadzi do prostej metody wyznaczania dowolnej liczby punktów na hiperboli gdy dane są jej asymptoty i wierzchołki. Korzystamy przy tym z trójkąta z podziałką (tzw. Geodreieck).
Metodę tę pokazuje poniższy rysunek.

hiperbola_nowa_metoda

Przez jeden z wierzchołków rysujemy dwie proste a i b równoległe do asymptot. Przykładamy ekierkę tak, aby jej najdłuższa krawędź (przeciwprostokątna) przechodziła przez punkt Q, a przy tym punkty przecięcia tej krawędzi z prostymi a i b miały tę samą odległość od punkt zerowego na skali ekierki. Zaznaczamy ten punkt (na rysunku oznaczony literą H), który leży na szukanej hiperboli. Zmieniając położenie ekierki wyznaczamy kolejne punkty. To pozwala nam narysować hiperbolę.
W przypadku, gdy dane są obie asymptoty i dowolny punkt na hiperboli, możemy skorzystać z konstrukcji wyznaczania wierzchołków hiperboli, która jest opisana w artykule pod adresem http://www.3doro.de/kegel/hiperbola-wierzchołek.pdf
Poniższy gif animowany ilustruje sposób posługiwania się trójkątem z podziałką. Kliknij w niego by obejrzeć go na całym ekranie. Zwróć uwagę, że punkt zerowy podziałki znajduje się zawsze w punkcie H, zaś A i B w równej odległości od niego.

hiper_linijka

Specjalnie dla polskich uczniów lubiących matematykę, ich nauczycieli oraz dla studentów spragnionych pięknej geometrii, której tak wiele wokół nas, a o której tak niewiele wiemy przygotowali autorzy: Tadeusz Doroziński i Bronisław Pabich
Zapraszamy ponadto do czytania blogu geometrycznego panów Tadeusza Dorozińsiego i Mirosława Majewskiego pod adresem
http://geometryka.wordpress.com

O złotej elipsie jeszcze raz

Autor: Tadeusz E. Doroziński

W numerze 66/2008 NiM + TI  dr Bronisław Pabich  opisał „złotą elipsę”, która powstaje przez wpisywanie kwadratów w półokrąg (rys. 1)

image001

Rys. 1

Tak jak widzimy na rys.1, rysujemy pionowy odcinek QR tak, że R leży na średnicy AB a punkt Q na półokręgu. Odcinek QR przyjmujemy jako bok kwadratu PQRS. Gdy punkt R przesuwa się po prostej AB, to prawy górny wierzchołek P tego kwadratu zakreśla pewną elipsę.  Czytaj dalej

Przekroje sześcianu

Wprawdzie w programie szkoły gimnazjalnej i liceum temat ten nie pojawia się na lekcjach geometrii przestrzennej, ale znajomość tego zagadnienia może przydać się tym uczniom, którzy zechcą w przyszłości podjąć studia inżynierskie. Samo zagadnienie jest typową konstrukcją geometryczną, która, jak większość konstrukcji kształci u uczniów wyobraźnię przestrzenną i myślenie logiczne. Ważny jest też dobór narzędzi dydaktycznych, którymi posłużymy się na lekcji. Chodzi o to, by uczeń widział to zagadnienie w szerszym kontekście; gdy konstruując jeden przekrój obserwował całą rodzinę przekrojów tego samego typu. Dlatego posłużę się tu tradycyjnie programem Cabri.
Zacznijmy od trzech najprostszych i najczęściej pokazywanych na lekcji przekrojów sześcianu.

1/ Przekrój płaszczyzną obracającą się wokół osi przechodzącej przez środki dwóch równoległych ścian sześcianu (na przykład dolnej i górnej).

przekroj latwy 01a

Ponieważ płaszczyznę wyznaczają jednoznacznie trzy różne niewspółliniowe punkty, więc konstrukcję takiego przekroju rozpoczynamy od wyboru dowolnego punktu P na brzegu górnej ściany i dobieramy dla niego pozostałe dwa punkty Q i R. Jeden z nich (Q) jest obrazem punktu P w symetrii względem środka górnej ściany, a trzeci (R) w symetrii względem środka całego sześcianu. Ponieważ przekrojem jest czworokąt, dochodzi jeszcze czwarty punkt T, Jak go należy skonstruować? Czytaj dalej

Poniewieranie wielościanami

Program Cabri 3D daje takie możliwości dynamicznych transformacji obiektów 3D, które trudno sobie wyobrazić, a co dopiero narysować. Wykorzystując narzędzie pokrywania aż ośmioma stylami powierzchni obiektów Cabri 3D możemy dostrzegać w wielościanie to, czego nie widać na stworzonym np. z kartonu modelu. Eksperymentowanie przez rozcinanie, obracanie i rozsuwanie elementów wielościanu może doprowadzić badacza do uzyskania zupełnie innego wielościanu. Jeśli nie ma w nim pustych „komórek” to takie wielościany mają równe objętości. Powiemy, że są równoważne objętościowo. Na poniższym gifie animowanym widać rozkład jednego wielościanu w inny. Czy rozpoznajesz je, czy potrafisz nazwać każdy z nich?
transf gr6 w 8sc

Inne przykłady już wkrótce
Bronek Pabich

Wstawianie obiektów Cabri 3D i Cabri II Plus do Power Pointa 2007

Cabri 3D, image Jen-Chung ChuanWstawianie obiektów Cabri II PLus oraz Cabri 3D do prezentacji Power Point 2003 lub niższej jest bardzo proste:
– wybieramy narzędzie Wstaw Obiekt /Cabri II Plus lub Cabri 3D,
– zatwierdzamy OK –  pojawia się okno do umieszczenia w nim pliku-apletu,
– klikamy prawym przyciskiem myszy  – pojawia się menu kontekstualne,
– z niego wybieramy ObiektCabri3activedoc/Importer – konstrukcja jest już wstawiona.

Oczywiście konstrukcja Cabri II Plus lub Cabri 3D jest czynna dopiero po uaktywnieniu pokazu (klawiszem F5).  Teraz można poruszać myszą w pokazie obiekty Cabri, czyniąc pokaz dynamicznym – interaktywnym.

Jednak w wersji 2007 i wyższej Power Point  nie jest już taki skory do wstawiania w nim obiektów. Trzeba w nim uaktywnić tzw. „wstążkę Developera”. Oto opis kolejnych czynności: Czytaj dalej

Cabri II Plus w nauczaniu funkcji i ich własności

Program CABRI ma służyć zarówno do nauczania geometrii, jak i algebry, statystyki, elementów mechaniki, geografii i przestrzeni 3D. Jego możliwości w nauczaniu algebry i analizy matematycznej są zbliżone do możliwości, jakie od 1998 roku daje program Cabri II, a potem Cabri II Plus. Myślę, że o tym fakcie jednak nie wie wielu nauczycieli posiadających CABRI w swojej szkole.

Wynika to z faktu, że słowo Cabri od początku jego istnienia związane było zawsze z geometrią. Sama nazwa CABRI GEOMETRY, którą firmują twórcy tego programu z Uniwersytetu Josepha Fouriera w Grenoble oraz Grupa Robocza Geometria Cabri istniejąca od 1993 roku przy Stowarzyszeniu Nauczycieli Matematyki sugeruje, że Cabri to tylko geometria. Tymczasem konstruowanie wykresu funkcji to czysta geometria, której owocem jest przecież obiekt geometryczny – krzywa, którą niestety opisujemy wzorami algebraicznymi. Szkoda, że się o tym nie mówi w szkole. Szkoda, że uczniowie oprócz wykresów popularnych funkcji nie poznają innych krzywych, które mają naprawdę znaczącą rolę w otaczającym nas świecie. Stożkowe, cykloidy i podobne im inne krzywe występowały niegdyś w programie szkoły średniej i były przez uczniów traktowane jako uzupełnienie wiedzy z astronomii, mechaniki i fizyki. Występowały tam również elementy humanistyczne i praktyczne – np. wykorzystanie przez kapłanów egipskich własności elipsy do zniszczenia Faraona Ramzesa XIII opisane przez Bolesława Prusa (właściwie Aleksandra Głowackiego) w „Faronie” i jeszcze wiele innych, dotyczących paraboli, czy krzywych kaustycznych… Czytaj dalej

Cabri Geometry po polsku

Strona ta ma na celu dotarcie do użytkowników programów CABRI i umożliwienie Im podzielenia się ze sobą swoimi doświadczeniami, które jak wiem, są niezwykle bogate. Może uda się nam stworzyć forum dyskusyjne, które rozwieje wiele wątpliwości i odpowie na wiele pytań dotyczących praktycznych działań z programem Cabri w Polsce. Tu będziemy też gromadzić wszelkie materiały do nauczania matematyki z Cabri.

Wkrótce nastapi dalszy rozwój tej strony – bądź cierpliwy – Bronek Pabich